问题
解答题
已知函数f（x）=ln（x+1）-
（1）求f（x）的单调区间； （2）求证不等式
|
答案
（1）f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f'（x）=
-1 x+1
=k (x+1)2
（2分）x-(k-1) (x+1)2
令f'（x）＞0得：x＞k-1
当k-1≤-1即k≤0时，f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）（3分）
当k-1＞-1即k＞0时，f（x）的单调递减区间是（-1，k-1），f（x）的单调递增区间是（k-1，+∞）（5分）
（2）当x∈（0，1）时，原不等式等价于ln（x+1）
＞2．x+2 x+1
令g（x）=ln（x+1）+
，g′(x)=x+2 x+1
-1 x+1
=1 (x-1)2
（7分）x (x+1)2
∵x∈（0，1）∴g'（x）＞0恒成立
∴g（x）在（0，1）是单调递增（9分）
∴g（x）＞g（0）=2
∴g（x）＞2在（0，1）上恒成立
故原不等式
-1＜x ln(x+1)
在区间（0，1）上恒成立．（12分）x 2