（1）f′（x）=3x²+2mx+m …（1分）

∵x=-

1

3

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点，

∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0

∴m=-1      …（3分）

∴f（x）=x³-x²-x-2，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）有极大值f(-

1

3

)=-

49

27

，极小值f（1）=-3     …（5分）

（2）当0＜a＜1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，a]上单调递减

∵[f(a)-

f(-a)+f(a)

2

]×[f(-a)-

f(-a)+f(a)

2

]=-[

f(a)-f(-a)

2

]2 ＜0

∴

f(-a)+f(a)

2

在f（-a）与f（a）之间

∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（9分）

当a＞1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增

∴f（x）有极小值f（1）=-3

又∵

f(-a)+f(a)

2

=-a2-2＜-3=f(1)

∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（12分）

当a=1时，f（x）在[-1，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减

此时f（-1）=f（1）=-3

∴方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有两个根为±1．…（14分）

综上所述：a=1．…（15分）