问题 解答题
已知函数f(x)=x3-
1
2
x2+bx+c
,且f(x)在x=1处取得极值.
(1)求b的值;
(2)若当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
答案

(1)由题意得f′(x)=3x2-x+b

∵f(x)在x=1处取得极值

∴f′(1)=3-1+b=0

∴b=-2

所以b的值是-2.

(2)由(1)得f′(x)=3x2-x-2

∵当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立

x3-

1
2
x2-2x+c<c2在[-1,2]上恒成立,

x3-

1
2
x2-2x<c2-c在[-1,2]上恒成立.

设g(x)=x3-

1
2
x2-2x则g′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)

当x∈(-1,-

2
3
)时,g′(x)>0

当x∈(-

2
3
,1)时,g′(x)<0

当x∈(1,2)时,g′(x)>0

所以,当x=-

2
3
时,g(x)取得极大值为g(-
2
3
)=
22
27

又因为g(2)=2

所以在[-1,2]上g(x)的最大值为g(2)=2

则有c2-c>2,解得:c>2或c<-1

故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).

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