问题
解答题
已知函数f(x)=x3-
(1)求b的值; (2)若当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. |
答案
(1)由题意得f′(x)=3x2-x+b
∵f(x)在x=1处取得极值
∴f′(1)=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2.
(2)由(1)得f′(x)=3x2-x-2
∵当x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立
∴x3-
x2-2x+c<c2在[-1,2]上恒成立,1 2
即x3-
x2-2x<c2-c在[-1,2]上恒成立.1 2
设g(x)=x3-
x2-2x则g′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)1 2
当x∈(-1,-
)时,g′(x)>02 3
当x∈(-
,1)时,g′(x)<02 3
当x∈(1,2)时,g′(x)>0
所以,当x=-
时,g(x)取得极大值为g(-2 3
)=2 3 22 27
又因为g(2)=2
所以在[-1,2]上g(x)的最大值为g(2)=2
则有c2-c>2,解得:c>2或c<-1
故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).