问题
解答题
已知函数f（x）=
（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． |
答案
（Ⅰ）由题意f（x）=
，故f′（x）=x x2+b
=x2+b-x•2x (x2+b)2
…（2分）b-x2 (x2+b)2
依题意，由f′（-1）=
=0，得b=1．…（4分）b-1 (1+b)2
经检验，b=1符合题意．…（5分）
（Ⅱ）①当b=0时，f（x）=
．1 x
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（0，+∞）；无单调增区间． …（6分）
②当b＞0时，f′（x）=
．令f′（x）=0，得x1=-b-x2 (x2+b)2
，x2=b
…（8分）b
故f（x）和f′（x）的情况如下：
| x | （-∞，-
| -
| （-
|
| （
| ||||||||||||
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||||||||
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| b |
| b |
| b |
| b |
③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x|x≠±
}，因为f′（x）=-b
＜0在D上恒成立，b-x2 (x2+b)2
故f（x）的单调减区间为（-∞，-
），（--b
，-b
），（-b
，+∞）；无单调增区间．…（13分）-b