已知f（x）=
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f（x）=
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（Ⅰ）f'（x）=
=4+2ax-2x2 (x2+2)2
，-2(x2-ax-2) (x2+2)2
∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x2-ax-2，
方法一：φ
①⇔
⇔-1≤a≤1，φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：
①⇔
或
≥0a 2 φ(-1)=1+a-2≤0
＜0a 2 φ(1)=1-a-2≤0
⇔0≤a≤1或-1≤a≤0
⇔-1≤a≤1．
∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由
=2x-a x2+2
，得x2-ax-2=0，∵△=a2+8＞01 x
∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=-2，
从而|x1-x2|=
=( x1+x2)2- 4x1x2
．a2+8
∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=
≤3．a2+8
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），
方法一：
②⇔g（-1）=m2-m-2≥0，g（1）=m2+m-2≥0，
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②⇔m＞0，g（-1）=m2-m-2≥0或m＜0，g（1）=m2+m-2≥0
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．