问题
解答题
已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）由已知f′(x)=2+
(x＞0)，则f'（1）=2+1=3．1 x
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ）f′(x)=a+
=1 x
(x＞0)．ax+1 x
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-
．1 a
在区间(0，-
)上，f'（x）＞0，在区间(-1 a
，+∞)上f'（x）＜0，1 a
所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，-
)，单调递减区间为(-1 a
，+∞)；1 a
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，
因为g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[0，1]，
所以g（x）max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在（0，-
）上单调递增，在（-1 a
，+∞）上单调递减，1 a
故f（x）的极大值即为最大值，f（-
）=-1+ln（-1 a
）=-1-ln（-a），1 a
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-
．1 e3