规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=

问题解答题

规定

x(x-1)…(x-m+1)

，其中x∈R，m是正整数，且C_X⁰=1．这是组合数C_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C_-15³的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推广到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数C_n^m是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z．

答案

（1）由题意C_-15³=

-15×(-16)×(-17)

=-C₁₇³=-680 …（4分）

（2）性质①C_n^m=C_n^n-m不能推广，例如x=

时，

有定义，但

-1

无意义；

性质②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推广，它的推广形式为C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*

证明如下：当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹； …（1分）

当m≥2时，有C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)…(x-m+1)

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

+1)=

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

=C_x+1^m，（6分）

（3）由题意，x∈Z，m是正整数时

当x≥m时，组合数C_x^m∈z成立；

当0≤x＜m 时，

x(x-1)(x-2)⋅⋅⋅0⋅⋅⋅(x-m+1)

=0∈Z，结论也成立；

当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴C_x^m=

x(x-1)…(x-m+1)

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）

综上所述当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z