问题
解答题
设函数f（x）=lnx-2ax．
（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为直线l，且直线l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．
答案
（1）依题意有，f′（x）=
-2a．1 x
因此过（1，f（1））点的直线的斜率为1-2a，又f（1）=-2a，
所以，过（1，f（1））点的直线方程为y+2a=（1-2a）（x-1）．
即（2a-1）x+y+1=0
又已知圆的圆心为（-1，0），半径为1，
依题意，
=1，|1-2a+1| (2a-1)2+1
解得a=
．1 2
（2）依题知f（x）=lnx-2ax的定义域为（0，+∞），
又知f′（x）=
-2a1 x
因为a＞0，x＞0，令
-2a＞0，则1-2ax＞01 x
所以在x∈（0，
）时，f（x）=lnx-2ax是增函数；1 2a
在x∈（
，+∞）时，f（x）=lnx-2ax是减函数．1 2a