已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），

问题解答题

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）；

（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，猜测a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有多少个；

（Ⅲ）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，试求l（A）．

答案

（Ⅰ）因为集合P={2，4，6，8}，

所以2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，

所以可得：l（P）=5．

因为集合Q={2，4，8，16}，

所以2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，

所以可得：l（Q）=6．

（Ⅱ）对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

个．

因为在集合A的n个元素中任取一个元素，共有n种，再从余下的n-1个元素中任取一个元素，

共有n-1种．把取出的元素两两作和共有n（n-1）个，

因为a_j+a_i=a_i+a_j等情况，

所以对于集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值最多有

n(n-1)

个．

（Ⅲ）因为集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}最多有

n(n-1)

个a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值，

所以l(A)≤

n(n-1)

．

又集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，任取a_i+a_j，a_k+a_l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），

当j≠l时，不妨设j＜l，则a_i+a_j＜2a_j=2^j+1≤a_l＜a_k+a_l，即a_i+a_j≠a_k+a_l．

当j=l，i≠k时，a_i+a_j≠a_k+a_l．

因此，当且仅当i=k，j=l时，a_i+a_j=a_k+a_l．

即所有a_i+a_j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，

所以l(A)=

n(n-1)

．