（1）∵h(x)=2x+

a2

x

+lnx，其定义域为（0，+∞），∴h′(x)=2-

a2

x2

+

1

x

．

∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h'（1）=0，即3-a²=0，∵a＞0，∴a=

3

．

经检验，当a=

3

时，x=1是函数h（x）的极值点，∴a=

3

．

（2）假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立，

等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]时，都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max，当x∈[1，e]时，g′(x)=1+

1

x

＞0．

∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．

∵f′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0，

①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0，

∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是增函数．∴[f（x）]_min=f（1）=1+a²．

由1+a²≥e+1，得  a≥

e

，又0＜a＜1，∴a  不合题意．

②当1≤a≤e时，

若1≤x＜a，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，若a＜x≤e，则f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＞0．

∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．

∴[f（x）]_min=f（a）=2a.2a≥e+1，得  a≥

e+1

2

，1≤a≤e，∴

e+1

2

≤a≤e．

③当a＞e且x∈[1，e]时，f′(x)=

(x+a)(x-a)

x2

＜0，

∴函数f(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是减函数．∴[f(x)]min=f(e)=e+

a2

e

．

由e+

a2

e

≥e+1，得  a≥

e

，又a＞e，∴a＞e．

综上所述，存在正实数a的取值范围为 [

e+1

2

，+∞)．