已知函数f(x)=13x3+12(p-1)x2+qx(p，q为常数）（1）若f（

问题解答题

已知函数f(x)=

x3+

(p-1)x2+qx(p，q为常数）
（1）若f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，且x₂-x₁＞1，求证：p²＞2（p+2q）；
（2）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，且在x∈[-6，6]时，函数y=f（x）的图象在直线l：15x-y+c=0的下方，求c的取值范围？

答案

（1）∵f(x)=

x3+

(p-1)x2+qx，∴f′(x)=x2+(p-1)x+q

又x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，则x₁，x₂是x²+（p-1）x+q=0的两根，

∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q（2分）

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-p）²-4q，（4分）

∵x₂-x₁＞1，∴（x₂-x₁）²＞1，∴（1-p）²-4q＞1

即p²-2p-4q＞0，∴p²＞2（p+2q）

（2）由题意，

f′(1)=0

f′(3)=0

即

p+q=0

3p+q=-6

∴

p=-3

q=3

（7分）

∴f(x)=

x3-2x2+3x，

令F（x）=f（x）-（15x+c）=

x2-2x2-12x-c，∴F'（x）=x²-4x-12

令F′（x）=0，∴x²-4x-12=0∴x₁=-2，x₂=6

当x∈（-6，-2）时，F′（x）＞0，F（x）在[-6，-2]上递增，

当x∈（-2，6）时，F′（x）＜0，F（x）在[-2，6]上递减

∴F(x)max=F(-2)=

-c(10分)

令F（-2）＜0，即

-c＜0，∴c＞

（11分）

∴所求c的取值范围为(

，+∞)（12分）