已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于

问题解答题

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求c的值；
（2）求

的取值范围；
（3）求|AC|的最大值和最小值．

答案

（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，

∴x=0是f（x）的一个极值点，

∴f′（0）=0

而f′（x）=3ax²+2bx+c，

故c=0．

（2）令f′（x）=0，则3ax²+2bx=0，

解得x1=0，x2=-

．

又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，

得

≥2

≤4

解得-6≤

≤-3．

（3）设A（α，0），C（β，0），

则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）

则

b=-a(2+α+β)

d=-2aαβ

，解得

α+β=-

-2

αβ=-

又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），

∴f（2）=0即8a+4b+d=0

∴d=-4（b+2a），

αβ=4+

从而|AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

(

-2)2-16

∵-6≤

≤-3

∴当

=-6时，|AC|_max=4

；当

=-3时，|AC|_min=3．