解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r-（r+1）=（r+1）[（1+x）^r-1]，

令f'（x）=0，解得x=0．

当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-1，0）内是减函数；

当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．

故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f（0）=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（-1，+∞）时，有f（x）≥f（0）=0，

即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，

故当x＞-1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①

在①中，令x=

1

n

（这时x＞-1且x≠0），得(1+

1

n

)r+1＞1+

r+1

n

．

上式两边同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），

即nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，②

当n＞1时，在①中令x=-

1

n

（这时x＞-1且x≠0），

类似可得nr＞

nr+1-(n-1)r+1

r+1

，③

且当n=1时，③也成立．

综合②，③得

nr+1-(n-1)r+1

r+1

＜nr＜

(n+1)r+1-nr+1

r+1

，④

（Ⅲ）在④中，令r=

1

3

，n分别取值81，82，83，…，125，

得

3

4

(81

4

3

-80

4

3

)＜

3	81

＜

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)，

3

4

(82

4

3

-81

4

3

)＜

3	82

＜

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)，

3

4

(83

4

3

-82

4

3

)＜

3	83

＜

3

4

(84

4

3

-83

4

3

)，…

3

4

(125

4

3

-124

4

3

)＜

3	125

＜

3

4

(126

4

3

-125

4

3

)，

将以上各式相加，并整理得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)＜S＜

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)．

代入数据计算，可得

3

4

(125

4

3

-80

4

3

)≈210.2，

3

4

(126

4

3

-81

4

3

)≈210.9

由[S]的定义，得[S]=211．