问题
解答题
已知函数f（x）=2x3-x2+ax+b．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求参数a的取值范围．
（2）若函数f（x）在x=1处取处极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜b2+b恒成立，求参数b 的取值范围．
答案
（1）∵f′（x）=6x2-2x+a
∴方程f′（x）=0有实根，（4分）
∴△=4-4×6a≥0，
∴a≤1 6
（2）由函数f（x）在x=1处取得极值，
知x=1是方程f′（x）=0的一个根，
所以a=-4
∴方程f′（x）=0的另一个根为-2 3
∴当x＜-
或x＞1时，f′（x）＞0，2 3
当-
＜x＜1时，f′（x）＜0，2 3
∴f（x）有极大值
+b44 27
而f（2）=4+b＞
+b＞f（-1）=1+b44 27
∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值是4+b
∵f（x）＜b2+b恒成立，即有4+b＜b2+b成立
解得b＜-2或b＞2
∴参数b的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）