问题
解答题
已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值8．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的值．
答案
（Ⅰ）函数的导数为f'（x）=a（x-2）2+2（x-2）ax=3ax2-8ax+4a=3a(x-2)(x-
)，2 3
因为a＞0，
则由f'（x）＞0，则x＞2或x＜
，此时函数单调递增，2 3
由f'（x）＜0，则
＜x＜2，此时函数单调递减．2 3
即函数的单调增区间为（2，+∞）和（-∞，
）．2 3
函数的单调递减区间为（
，2）．2 3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=
时，函数取得极大值，2 3
所以由f（
）=8得，f(2 3
)=2 3
a(2 3
-2)2=2 3
=8，32a 27
解得a=
．27 4
