问题 解答题
设a为大于0的常数,函数f(x)=
x
-ln(x+a).
(1)当a=
3
4
,求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)若使函数f(x)为增函数,求a的取值范围.
答案

(1)当a=

3
4
时,f′(x)=
1
2
x
-
1
x+
3
4

令f′(x)=0,则x-2

x
+
3
4
=0,∴x=
9
4
1
4

当x∈[0,

1
4
]时,f′(x)>0,当x∈(
1
4
9
4
),f′(x)<0,

当x∈(

9
4
,+∞)时,f′(x)>0,

∴f(x)极大值=f(

1
4
)=
1
2
,f(x)极小值=f(
9
4
)=
3
2
-ln3.

(2)f′(x)=

1
2
x
-
1
x+a
,若f(x)为增函数,则当x∈[0,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,

1
2
x
1
x+a
,即x+a≥2
x

即a≥2

x
-x=-(
x
-1)2+1恒成立,

∴a≥1.

选择题
判断题