（1）f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，

若函数f（x）是定义域上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

即2x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，

令g（x）=2x²-2x+a，则函数g（x）图象的对称轴方程是x=

1

2

，

故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要a≥

1

2

．

（2）有（1）知当a≥

1

2

时，f′（x）=0的点是导数不变号的点，

故a≥

1

2

时，函数无极值点；

当a＜

1

2

时，f'（x）=0的根是x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

，

若a≤0，

1-2a

≥1，此时x₁≤0，x₂＞0，且在（0，x₂）上f′（x）＜0，

在（x₂，+∞）上f'（x）＞0，故函数f（x）有唯一的极小值点x2=

1+ 1-2a

2

；

当0＜a＜

1

2

时，0＜

1-2a

＜1，

此时x₁＞0，x₂＞0，f′（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，

此时f（x）有一个极大值点x1=

1- 1-2a

2

和一个极小值点x2=

1+ 1-2a

2

．

综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值点x2=

1+ 1-2a

2

；

0＜a＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x1=

1- 1-2a

2

和一个极小值点x2=

1+ 1-2a

2

；

a≥

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．