（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=-

1

mx2

+

1

x

=

mx-1

mx2

（m＞0）．        …（1分）

因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，

所以mx-1≥0在[1，+∞）上恒成立，

所以m≥

1

x

在[1，+∞)上恒成立．

所以m的取值范围是[1，+∞）．                        …（3分）

（Ⅱ）令f′（x）=0，∴x=

1

m

（m＞0）．                …（4分）

①若

1

m

＜1，即m＞1，则x∈[1，e]时，有f'（x）＞0，所以f（x）在[1，e]上递增，

所以f（x）的最大值是f(e)=

1-e+me

me

；f(x)的最小值是f（1）=0…（6分）

②若1≤

1

m

＜e，即

1

e

＜m≤1，则x∈(1，

1

m

)时，f′（x）＜0，所以f（x）在(1，

1

m

)上递减；x∈(

1

m

，e)时，f′（x）＞0，所以f（x）在(

1

m

，e)上递增．

所以f（x）的最小值是f(

1

m

)=

m-1

m

-lnm．

又f(1)=0，f(e)=

1-e+me

me

，

所以当1-e+me＞0，即1-

1

e

＜m≤1时，有f（e）＞f（1），所以f（x）的最大值是f(e)=

1-e+me

me

；

当1-e+me≤0，即

1

e

＜m≤1-

1

e

时，有f（e）≤f（1），

所以f（x）的最大值是f（1）=0．                  …（9分）

③若

1

m

≥e，即0＜m≤

1

e

，则x∈[1，e]时，有f'（x）＜0，

所以f（x）在[1，e]上递增，

所以f（x）的最大值是f（1）=0；f（x）的最小值是f(e)=

1-e+me

me

．…（11分）

所以f（x）的最大值是

1-e+me me ，m＞1- 1 e 0，0＜m≤1- 1 e

，f（x）的最小值是

0，m＞1 m-1 m -1nm， 1 e ＜m≤1 1-e+me me ，0＜m≤ 1 e

…（12分）