问题
解答题
（理）已知函数f(x)=x-
（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围． |
答案
（理）（本小题满分12分）
（Ⅰ）f′(x)=
， x∈(-1，+∞)．x(1-a-ax) x+1
依题意，令f'（2）=0，解得 a=
．1 3
经检验，a=
时，符合题意．…（4分）1 3
（Ⅱ）①当a=0时，f′(x)=
．x x+1
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或x2=
-1．1 a
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：
| x | （-1，x1） | x1 | （x1，x2） | x2 | （x2，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↘ | f（x1） | ↗ | f（x2） | ↘ |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）．
当a＞1时，-1＜x2＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：
| x | （-1，x2） | x2 | （x2，x1） | x1 | （x1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↘ | f（x2） | ↗ | f（x1） | ↘ |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是(0，
-1)，减区间是（-1，0）和(1 a
-1，+∞)；1 a
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是(
-1，0)；减区间是(-1，1 a
-1)和（0，+∞）．1 a
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(
-1)，1 a
由f(
-1)＞f(0)=0，知不合题意．1 a
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）
