问题 问答题

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ) 存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ) 存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).

答案

参考答案:(Ⅰ) 设f(x),g(x)在(a,b)内某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c),此时的f就是所求点η,使得f(η)=g(η).若两个函数取得最大值的点不同,则可设f(c)=maxf(x),g(d)=maxg(x),故有f(c)-g(c)>0,f(d)-g(d)<0.由介值定理,在(c,d)内(或(d,c)内)肯定存在η,使得f(η)=g(η).
(Ⅱ) 由罗尔定理在区间(a,η)及(η,b))内分别存在一点ξ1,ξ2,使得f(ξ1)=g’(ξ1),f’(ξ2)=g’(ξ2).在区间(ξ1,ξ2)内再用罗尔定理,即存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).

解析:[考点提示] 罗尔定理、介值定理.

阅读理解与欣赏

《桃花源记》

       晋太元中,武陵人捕鱼为业。缘溪行,忘路之远近。忽逢桃花林,夹岸数百步,中无杂树,芳草鲜美,落英缤纷。渔人甚异之。复前行,欲穷其林。

       林尽水源,便得一山,山有小口,仿佛若有光。便舍船,从口入。初极狭,才通人。复行数十步,豁然开朗。土地平旷,屋舍俨然,有良田美池桑竹之属。阡陌交通,鸡犬相闻。其中往来种作,男女衣着,悉如外人。黄发垂髫,并怡然自乐。

       见渔人,乃大惊,问所从来,具答之。便要还家,设酒杀鸡作食。村中闻有此人,成来问讯。自云先世避秦时乱,率妻子邑人来此绝境,不复出焉,遂与外人间隔。问今是何世,乃不知有汉,无论魏晋。此人一一为具言所闻,皆叹惋。余人各复延至其家,皆出酒食。停数日,辞去。此中人语云:“不足为外人道也。”

       既出,得其船,便扶向路,处处志之。及郡下,诣太守,说如此。太守即遣人随其往,寻向所志,遂迷,不复得路。

       南阳刘子骥,高尚士也。闻之,欣然规往。未果,寻病终。后遂无问津者。

1.解释下列划线词语在文中的意思。

     ①芳草鲜美(                     )

     ②屋舍俨然(                     )    

     ③便向路(                     )

     ④病终(                     ) 

     ⑤便还家(                     )    

     ⑥皆叹(                     )

2.陶渊明在《桃花源诗》中有"嬴氏乱天纪,贤者避其世"的诗句,文中哪句话与其表达的意思相近?

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3.留白,是绘画艺术的一种手法,文学创作中也不乏"留白",它给读者留下了许多想象的空间,你认为本文何处运用了这种手法,试简要分析。

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4.渔人偶遇桃源,“处处志之”,最终却“不复得路”,其中寄寓了作者怎样的思想? 

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5.“黄发垂髫”分别指代什么人?“黄发垂髫,并怡然自乐”展现出一幅怎样的生活图景?

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6.陶渊明的“世外桃源”其实并不存在,郭沫若的“天上的街市”也只是诗人心中的“桃花源”,古今文人描写这些想像中的世界有什么相同的用意?

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单项选择题