问题
问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：
(Ⅰ) 存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；
(Ⅱ) 存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
答案
参考答案：(Ⅰ) 设f(x)，g(x)在(a，b)内某点c∈(a，b)同时取得最大值，则f(c)=g(c)，此时的f就是所求点η，使得f(η)=g(η)．若两个函数取得最大值的点不同，则可设f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，故有f(c)-g(c)＞0，f(d)-g(d)＜0．由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在η，使得f(η)=g(η)．
(Ⅱ) 由罗尔定理在区间(a，η)及(η，b))内分别存在一点ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=g’(ξ1)，f’(ξ2)=g’(ξ2)．在区间(ξ1，ξ2)内再用罗尔定理，即存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
解析：[考点提示] 罗尔定理、介值定理．