问题
解答题
已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x1＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x1，f（x1））处的切线l与x轴的交点为（x2，0），证明：x2≥3．
答案
（1）∵f（x）=m3x+nx2，
∴f′（x）=3mx2+2nx．
由题意得：f′（2）=0，即3m+n=0，
∴n=-3m；（4分）
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx3-3mx2，f′（x）=3mx2-6mx，
令f′（x）＞0，
得3mx2-6mx＞0，
当m＞0时，∴x＜0或x＞2，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），
当m＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2）；（8分）
（3）由（1）得：f（x）=mx3-3mx2，f′（x）=3mx2-6mx，
l：y-（mx13-3mx12）=（3mx12-6mx1）（x-x1），
令y=0，由m≠0，x1＞2，则x2=
，2
-3x1x 21 3(x1-2)
所以x2-3=
-3=2
-3x1x 21 3(x1-2)
=2
-12x1+18x 21 3(x1-2)
，2(x1-3)2 3(x1-2)
∵x1＞2．（x1-3）2≥0，
∴x2-3≥0，即x2≥3．（12分）