问题
问答题
设有n元实二次型
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…n)为实数．试问：当a1，a2…，an满足何种条件时，二次型f(x1, x2，…，xn)为正定二次型
答案
参考答案：本题有以下两种较为简单的解法：
[详解l] 由题设，任给x1，x2，…xn都有f(x1，x2，…xn)≥0，因此，f(x1，x2，…，xn)=0
当且仅当
该齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式不为0，即
因此，当1+(-1)n+1a1a2…an≠0时，任给不全为零的x1，x2，…，xn都有f(x1，x2，…，xn)＞0，即当a1a2…an≠(-1)n时，f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
[详解2] 令
此线性变换的矩阵的行列式与(详解1)中行列式相同，因此当a1a2…an≠(-1)n时，此线性变换可逆，记其逆变换为x=Py，可化原二次型为标准形：
由于正惯性指数为n，可知原二次型为正定二次型．
解析：[考点提示] 正定二次型、线性齐次方程组、线性变换．