问题
解答题
已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+
（1）当a＞0且a≠1，f'（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间； （2）若f'（x）有零点，f'（3）≤
①求f（x）的表达式； ②当x∈（-3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f'（x）的图象的交点坐标． |
答案
（1）f′(x)=
（x＞-3）…（2分）x2+bx+a x+3
由f'（1）=0⇒b=-a-1，故f′(x)=
0＜a＜1时 (x-1)(x-a) x+3
由f'（x）＞0得f（x）的单调增区间是（-3，a），（1，+∞）
由f'（x）＜0得f（x）单调减区间是（a，1）
同理a＞1时，f（x）的单调增区间（-3，1），（a，+∞），单调减区间为（1，a）…（5分）
（2）①由（1）及f′(3)≤
⇒a≤-3b-8（i）1 6
又由|x|≥2（x＞-3）有f'（x）≥0知f'（x）的零点在[-2，2]内，设g（x）=x2+bx+a，
则
⇒g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤-
≤2b 2
，a≥-4-2b a≥2b-4 -4≤b≤4
由b2-4a≥0结合（i），解得b=-4，a=4…（8分）
∴f(x)=25ln(x+3)+
x2-7x…（9分）1 2
②又设φ（x）=f（x）-f'（x），先求φ（x）与x轴在（-3，2）的交点
∵φ′(x)=
+(x-2)2 x+3
-1，由-3＜x＜2得 0＜（x+3）2＜2525 (x+3)2
故φ'（x）＞0，φ（x）在（-3，2）单调递增
又φ（-2）=16-16=0，故φ（x）与x轴有唯一交点（-2，0）
即f（x）与f'（x）的图象在区间（-3，2）上的唯一交点坐标为（-2，16）为所求 …（13分）