(1)∵f(x)=+lnx
∴f′(x)=(a>0)
∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数
∴f′(x)=≥0对x∈[1,+∞)恒成立,
∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥对x∈[1,+∞)恒成立
∴a≥1
(2)当a=1时,f′(x)=,
∴当x∈[,1)时,f′(x)<0,故f(x)在x∈[,1)上单调递减;
当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故f(x)在x∈(1,2]上单调递增,
∴f(x)在区间[,2]上有唯一极小值点,故f(x)min=f(x)极小值=f(1)=0
又f()=1-ln2,f(2)=-+ln2,f()-f(2)=-2ln2=
∵e3>16
∴f()-f(2)>0,即f()>f(2)
∴f(x)在区间[,2]上的最大值f(x)max=f()=1-ln2
综上可知,函数f(x)在[,2]上的最大值是1-ln2,最小值是0.
(3)当a=1时,f(x)=+lnx,f′(x)=,
故f(x)在[1,+∞)上为增函数.
当n>1时,令x=,则x>1,故f(x)>f(1)=0
∴f()=+ln=-+ln>0,即ln>
∴ln>,ln>,ln>,…,ln>
∴ln+ln+ln+…+ln>+++…+
∴lnn>+++…+
即对大于1的任意正整数n,都有lnn>+++…+