问题 解答题
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2]
上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
答案

(1)∵f(x)=

1-x
ax
+lnx

f′(x)=

ax-1
ax2
(a>0)

∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数

f′(x)=

ax-1
ax2
≥0对x∈[1,+∞)恒成立,

∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥

1
x
对x∈[1,+∞)恒成立

∴a≥1

(2)当a=1时,f′(x)=

x-1
x2

∴当x∈[

1
2
,1)时,f′(x)<0,故f(x)在x∈[
1
2
,1)
上单调递减;

当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故f(x)在x∈(1,2]上单调递增,

∴f(x)在区间[

1
2
,2]上有唯一极小值点,故f(x)min=f(x)极小值=f(1)=0

f(

1
2
)=1-ln2,f(2)=-
1
2
+ln2,f(
1
2
)-f(2)=
3
2
-2ln2=
lne3-ln16
2

∵e3>16

f(

1
2
)-f(2)>0,即f(
1
2
)>f(2)

∴f(x)在区间[

1
2
,2]上的最大值f(x)max=f(
1
2
)=1-ln2

综上可知,函数f(x)在[

1
2
,2]上的最大值是1-ln2,最小值是0.

(3)当a=1时,f(x)=

1-x
x
+lnx,f′(x)=
x-1
x2

故f(x)在[1,+∞)上为增函数.

当n>1时,令x=

n
n-1
,则x>1,故f(x)>f(1)=0

f(

n
n-1
)=
1-
n
n-1
n
n-1
+ln
n
n-1
=-
1
n
+ln
n
n-1
>0,即ln
n
n-1
1
n

ln

2
1
1
2
,ln
3
2
1
3
,ln
4
3
1
4
,…,ln
n
n-1
1
n

ln

2
1
+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n
n-1
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n

lnn>

1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n

即对大于1的任意正整数n,都有lnn>

1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n

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