规定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且Ax0=1，

问题解答题

规定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A_x⁰=1，这是排列数A_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．

（1）求A_-15³的值；

（2）排列数的两个性质：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到A_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

（3）确定函数A_x³的单调区间．

答案

（1）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；

（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：

①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）

事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；

当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，

因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；

在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；

当m≥2时，

左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）

=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，

因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．

（3）先求导数，得（A_x³）^/=3x²-6x+2．

令3x²-6x+2＞0，解得x＜

或x＞

．

因此，当x∈(-∞，

)时，函数为增函数，

当x∈(

，+∞)时，函数也为增函数．

令3x²-6x+2＜0，解得

＜x＜

．

因此，当x∈(

，

)时，函数为减函数．

∴函数A_x³的增区间为(-∞，

)，(

，+∞)

函数A_x³的减区间为(

，

)