问题
解答题
已知函数f(x)=lnx+x2-ax(a∈R). (1)若f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围; (2)若f(x)存在极值,试求a的取值范围,并证明所有极值之和小于-3+ln
(3)设an=1+
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答案
(1)f′(x)=
+2x-a,x>0,1 x
由已知,f′(x)>0对x>恒成立,
即a≤
+2x,x>0,由于1 x
+2x≥21 x
=2
×2x1 x
,所以a≤22 2
(2)由已知,f′(x)=0在(0,+∞)内有穿越型的零点,即2x2-ax+1=0在(0,+∞)内有穿越型的零点,
记g(x)=2x2-ax+1,由于g(0)=0,所以
,解得a>2△=a2-8>0
>0a 4
.2
设f(x)的两个极值点为x1,x2,则x1+x2=
,x1x2=a 2
,∴f(x1)+f(x2)=(lnx1+x12-ax1)+(lnx2+x22-ax2)1 2
=lnx1x2-a(x1+x2)+(x1+x2)2-2x1x2
=ln
-1 2
+a2 2
-1=-a2 4
-1+lna2 4
<-3+ln1 2
,所以所有极值之和小于-3+ln1 2
;1 2
(3)令a=3,则f(x)=lnx+x2-3x,x>1,f′(x)=
=2x3-3x+1 x
>0,(x-1)(2x-1) x
即f(x)在(1,+∞)上为增函数,所以f(x)>f(1)=-2,
即lnx+x2-3x>-2,3x-x2<lnx+2,
∴3(a1+a2+…+an)-(a12+a22+…+an2)<ln((a1a2…an)+2n=ln(n+1)+2n.