问题 解答题
已知函数f(x)=lnx+x2-ax(a∈R).
(1)若f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)存在极值,试求a的取值范围,并证明所有极值之和小于-3+ln
1
2

(3)设an=1+
1
n
(n∈N*),求证:3(a1+a2+…+an)-(a12+a22+…+an2)<ln(n+1)+2n.
答案

(1)f′(x)=

1
x
+2x-a,x>0,

由已知,f′(x)>0对x>恒成立,

即a≤

1
x
+2x,x>0,由于
1
x
+2x
≥2
1
x
×2x
=2
2
,所以a≤2
2

(2)由已知,f′(x)=0在(0,+∞)内有穿越型的零点,即2x2-ax+1=0在(0,+∞)内有穿越型的零点,

记g(x)=2x2-ax+1,由于g(0)=0,所以

△=a2-8>0
a
4
>0
,解得a>2
2

设f(x)的两个极值点为x1,x2,则x1+x2=

a
2
,x1x2=
1
2
,∴f(x1)+f(x2)=(lnx1+x12-ax1)+(lnx2+x22-ax2

=lnx1x2-a(x1+x2)+(x1+x22-2x1x2

=ln

1
2
-
a2
2
+
a2
4
-1=-
a2
4
-1+ln
1
2
<-3+ln
1
2
,所以所有极值之和小于-3+ln
1
2

(3)令a=3,则f(x)=lnx+x2-3x,x>1,f′(x)=

2x3-3x+1
x
=
(x-1)(2x-1)
x
>0,

即f(x)在(1,+∞)上为增函数,所以f(x)>f(1)=-2,

即lnx+x2-3x>-2,3x-x2<lnx+2,

∴3(a1+a2+…+an)-(a12+a22+…+an2)<ln((a1a2…an)+2n=ln(n+1)+2n.

解答题
单项选择题 A1/A2型题