已知函数f(x)=2ax-bx+lnx．（I）若f（x）在x=1，x=12处取和

问题解答题

已知函数f(x)=2ax-

+lnx．
（I）若f（x）在x=1，x=

处取和极值，
①求a、b的值；
②存在x0∈[

，2]，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

答案

（Ⅰ）①∵f(x)=2ax-

+lnx，定义域为（0，+∞）

∴f′(x)=2a+

∵f（x）在x=1 ，x=

处取得极值，

∴f′(1)=0 ， f′(

)=0

即

2a+b+1=0

2a+4b+2=0

⇒

a=-

b=-

，所以所求a，b值均为-

②在[

，2]存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，则只需c≥[f（x）]_{min
由f′(x)=-
2
3
-1
3x2
+1
x
=-2x2-3x+1
3x2
=-(2x-1)(x-1)
3x2
∴当x∈[
1
4
，1
2
]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈[
1
2
，1]时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，2]时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）在x=
1
2
处有极小值
而f(
1
2
)=1
3
+ln1
2
=1
3
-ln2 ，   f(2)=-7
6
+ln2
又f(
1
2
)-f(2)=3
2
-ln4=lne3
2-ln4，
因e3-16＞0 ， ∴  lne
3
2
-ln4＞0 ，      ∴  [f(x)]min=f(2)，
∴c≥  [f(x)]min=-
7
6
+ln2，
∴c∈ [-
7
6
+ln2，+∞)，
故 cmin=-
7
6
+ln2．
（Ⅱ）当 a=b 时，f′(x)=
2ax2+x+a
x2
①当a=0时，f（x）=lnx，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax²+x+a＞0，∴f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，设g（x）=2ax²+x+a，只需△≤0，从而得a≤-
2
4
，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；
综上可得，a∈(-∞，-
2
4
]∪[0，+∞)}