问题 解答题

某品牌设计了编号依次为1,2,3,…,n(n≥4,且n∈N*)的n种不同款式的时装,由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i,j(0≤i,j≤n,且i,j∈N)种款式用来拍摄广告.

(1)若i=j=2,且甲在1到m(m为给定的正整数,且2≤m≤n-2)号中选择,乙在(m+1)到n号中选择.记Pst(1≤s≤m,m+1≤t≤n)为款式(编号)s和t同时被选中的概率,求所有的Pst的和;

(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.

答案

(1)甲从1到m(m为给定的正整数,且2≤m≤n-2)号中任选两款,乙从(m+1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为

C2m
C2n-m

记“款式s和t(1≤s≤m,m+1≤t≤n)同时被选中”为事件B,则事件B包含的基本事件的种数为

C11
C1m-1
C11
C1n-(m+1)

所以P(B)=Pst=

C11
C1m-1
C11
C1n-(m+1)
C2m
C2n-m
=
4
m(n-m)

则所有的Pst的和为:

C1m
C1n-m
4
m(n-m)
=4;(4分)

(2)甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为:

C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
=2n

同理得,乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n

据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为:2n•2n=4n

记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A,则事件A的对立事件

.
A
为:“没有一个款式为甲和乙共同认可”,

而事件

.
A
包含的基本事件种数为:
C0n
•(
C0n
+
C1n
+
C2n
+…+
Cnn
)
+
C1n
•(
C0n-1
+
C1n-1
+
C2n-1
+…+
Cn-1n-1
)
+…+
Cn-1n
•(
C01
+
C11
)
+
Cnn
•(
C00
)
=
C0n
2n+
C1n
2n-1+…+
Cn-1n
•2+
Cnn
20
=(1+2)n=3n

所以P(A)=1-P(

.
A
)=1-(
3
4
)n.(10分)

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