（1）当b=0，时，f（x）=ax²-4x，

若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，

故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足

a＞0 2 a ≥2

，解之得0＜a≤1

即实数a的取值范围是（0，1]；

（2）若a=0，f（x）=2

4+2b-b2

x，可得f（x）无最大值，故a≠0，

∴f（x）为二次函数，

要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，

此时，x=x₀=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．

又∵g（x）取最小值时，x=x₀=a，

依题意，

4+2b-b2

a

=a∈Z，可得a²=

5-(b-1)2

，

∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，

∴0＜a2≤

5

，结合a为整数得a=-1，此时b=-1或b=3．

综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（-1，-1），（-1，3）．