（1）f′（x）=3x²+2ax+b，

∴f′（1）=-3+2a+b=0，∴b=3-2a

f′（x）=-3（x-1）[x-（

2a

3

-1）]=0，解得x₁=1，x₂=

2a

3

-1

∵f（x）在x=1处有极大值，

则

2a

3

-1＜1，

∴a＜3

又f'（x）-

4

3

=0有实根，a≤1或a≥5，

∴0＜a≤1（4分）

（2）f（x）的单调增区间为（

2a

3

-1，1）

则|x₁-x₂|=2-

2a

3

∈[

4

3

，2）

[m、n]⊆[x₁，x₂]

∴|m-n|∈（0，2）（8分）

（3）（方法一）由于f（x）在（-∞，

2a

3

-1）上是减函数，

在（

2a

3

-1，1）上是增函数．

在（1，+∞）上是减函数，而x∈（-∞，0），

且

2a

3

-1∈（-1，

1

3

]．

f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值．

f（x）_min=f（

2a

3

-1）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2+c≥c，

得g（a）=）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a+1，

g′（a）=

4

9

a2-

8

3

a+3=

4

9

（x-

9

2

）（a-

9

2

），在[

1

2

，1]上单调递增．

∴g（a）_min=g（

1

2

）=

1

54

-

1

3

+

3

2

-2＞0，不存在．

依上，不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立．（14分）

（方法二）f（x）≥c 等价于-x³+ax²+bx+c≥c

即-x³+ax²+bx≥0，x∈（-∞，0]

当x=0时，不等式恒成立；

当x∈（-∞，0）时，上式等价于x²-ax-b≥0

即x²-ax-3+2a≥0，x²-3≥（x-2）a

a≥

x2-3

x-2

=x-2+

1

x-2

+4

g（x）=

1

x-2

+x-2+4在（-∞，0）上递增

所以g（x）＜-2+4=2即a＞2

而0＜a≤1，故不存在．（14分）