问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax+b的图象是曲线C，曲线C在点（1，3）处的切线与直线y=2x+3平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的递增区间；
（3）求函数F（x）=f（x）-2x-3在区间[0，2]上的最大值和最小值．
答案
（1）根据题意：．∵f'（x）=3x2+a
∴f'（1）=3+a=2得a=-1
由f（1）=3得1+a+b=3，∴b=3
∴f（x）=x3-x+3．
（2）由f（x）=x3-x+3得f'（x）=3x2-1，
令f'（x）=3x2-1＞0，解得x＜-
或x＞3 3
．3 3
∴函数f（x）的递增区间为(-∞，-
)，(3 3
，+∞)．3 3
（3）F（x）=x3-3x，F'（x）=3x2-3
令F'（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1．
列出x，F'（x），F（x）关系如下：
| x | 0 | （0，1） | 1 | （1，2） | 2 |
| F'（x） | - | 0 | + | ||
| F（x） | 0 | 递减 | 极小值-2 | 递增 | 2 |