（1）a=1时，f（x）=x+lnx

∴f'（x）=1+

1

x

，可得f'（

1

2

）=3

∴曲线y=f(x)在x=

1

2

处切线的斜率k=f'（

1

2

）=3

（2）由题意，得f'（x）=a+

1

x

，（x＞0）

∴当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立；

当a＜0时，f'（x）=a+

1

x

在（0，-

1

a

）上为正数，在（-

1

a

，+∞）上为负数

由此可得：当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数；

当a＜0时，f（x）=ax+lnx在（0，-

1

a

）上为增函数，在（-

1

a

，+∞）上为减函数

（3）由题意，得f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于g（x₂）在[0，1]上的最大值．

∵g（x）=2^x，[0，1]上是增函数

∴g（x₂）在[0，1]上的最大值为g（1）=2

即f（x₁）在（0，+∞）上的最大值小于2

当a≥0时，函数f（x）=ax+lnx是（0，+∞）上的增函数，f（x₁）没有最大值；

当a＜0时，f（x₁）在（0，+∞）上的最大值为f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）＜2

解之得a＜-

1

e3

，可得实数a的取值范围为（-∞，-

1

e3

）．