问题
解答题
已知函数f(x)=ax2+
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2，总有不等式
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答案
（Ⅰ）由f(x)=ax2+
-2lnx，得f′(x)=2ax-1 x
-1 x2
．（2分）2 x
由函数f（x）为[1，+∞）上单调增函数，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2ax-
-1 x2
≥0在[1，+∞）上恒成立．2 x
也即a≥
+1 2x3
在[1，+∞）上恒成立．（4分）1 x2
令g（x）=
+1 2x3
，上述问题等价于a≥g（x）max．1 x2
而g（x）=
+1 2x3
为在[1，+∞）上的减函数，则g(x)max=g(1)=1 x2
．3 2
于是a≥
为所求．（6分）3 2
（Ⅱ）证明：由f(x)=ax2+
-2lnx，1 x
得
[f(x1)+f(x2)]=a•1 2
+
+x 21 x 22 2
•(1 2
+1 x1
)-(lnx1+lnx2)1 x2
=a•
+
+x 21 x 22 2
-ln(x1x2)．f(x1+x2 2x1x2
)=a•(x1+x2 2
)2+x1+x2 2
-ln(2 x1+x2
)2．x1+x2 2
而
≥
+x 21 x 22 2
[(1 4
+x 21
)+2x1x2]=(x 22
)2．①x1+x2 2
∵a≥0，∴a•
≥a•(
+x 21 x 22 2
)2．（9分）x1+x2 2
又（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥4x1x2，
∴
≥x1+x2 2x1x2
．②（11分）2 x1+x2
∵x1x2≤(
)2，∴ln(x1x2)≤ln(x1+x2 2
)2．x1+x2 2
∴-ln(x1x2)≥-ln(
)2．③（13分）x1+x2 2
由①、②、③，得a•
+
+x 21 x 22 2
-ln(x1x2)≥a•(x1+x2 2x1x2
)2+x1+x2 2
-ln(2 x1+x2
)2．x1+x2 2
即
[f(x1)+f(x2)]≥f(1 2
)，从而由凸函数的定义可知函数f（x）为凸函数．（14分）x1+x2 2