问题
解答题
已知函数f(x)=ax2-ln
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a=
（3）当n≥2，，n∈N*证明：ln
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答案
解（1）f′(x)=
（x＞-1），△=16a（a+1），4ax2+4ax-1 2(x+1)
①-1≤a≤0时，△＜0，f′（x）＜0，单调减区间（-1，+∞）；
②a＞0时，△＞0，单调减区间(-1，
)；增区间(-a+ a2+a 2a
，+∞)；-a+ a2+a 2a
③a＜-1时，△＞0，单调减区间(-1，
)∪(-a+ a2+a 2a
，+∞)；增区间(-a- a2+a 2a
，-a+ a2+a 2a
)；-a- a2+a 2a
（2）设h（x）=2f（x）-g（x）=x2-ln（x+1）-x3，h′(x)=
＜0，-(x-1)2-x3 x+1
所以h（x）＜h（0）=0，即2f（x）＜g（x），
（3）由（2）ln（x+1）＜x2-x3，
令x=
∈(0，1)，则ln(1 n
+1)＜(1 n
)2-(1 n
)3=1 n
•(n-1 n
)2，1 n
同理ln(
+1)＜1 n-1
•(n-2 n-1
)2，…，ln(1 n-1
+1)＜1 2
•(1 2
)2，累乘即得证．1 2