问题
解答题
已知函数φ(x)=
（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有
|
答案
（Ⅰ）f/(x)=
-1 x
=a (x+1)2
，∵a=x2+(2-a)x+1 x(x+1)2
，令f′（x）＜0，9 2
得
＜x＜2，故函数f（x）的单调减区间为(1 2
，2)． …（5分）1 2
（Ⅱ）∵
＜-1，∴g(x2)-g(x1) x2-x1
+1＜0，g(x2)-g(x1) x2-x1
∴
＜0，g(x2)+x2-[g(x1)+x1] x2-x1
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx+
+x，a x+1
h′(x)=-
-1 x
+1，令h′（x）≤0，得a≥a (x+1)2
+(x+1)2═x2+3x+(x+1)2 x
+3对x∈[1，2]恒成立1 x
设m(x)=x2+3x+
+3，则m′(x)=2x+3-1 x
，1 x2
∵1≤x≤2，∴m′(x)=2x+3-
＞0，1 x2
∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为
，∴a≥27 2
．27 2
当0＜x＜1时，h(x)=-lnx+
+x，h′(x)=-a x+1
-1 x
+1，a (x+1)2
令h'（x）≤0，得：a≥-
+(x+1)2=x2+x-(x+1)2 x
-1，1 x
设t(x)=x2+x-
-1，则t′(x)=2x+1+1 x
＞0，∴t（x）在（0，1）上是增函数，1 x2
∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，a≥
． …（16分）27 2