（Ⅰ）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x2

，

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，

所以函数f（x）在x=1处取得极大值．

因为函数f（x）在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，

所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．

（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，

即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，记g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，

所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，

令h（x）=x-lnx，则h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h′（x）≥0．

∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，

从而g′（x）＞0

故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，

∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2

（3）由（2）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，

即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，

令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，

所以ln(1×2)＞1-

2

1×2

，

ln(2×3)＞1-

2

2×3

，ln(3×4)＞1-

2

3×4

，

ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

．

叠加得：ln[1×2²×3²×n2×(n+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

n(n+1)

]

=n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

＞n-2

则1×2²×3²×n²×（n+1）＞e^n-2，

所以[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）