（Ⅰ）对f（x）求导得f'（x）=ax²+（b-1）x+1，由题意x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根．

由x₁＜2＜x₂＜4，且a＞0得

f′(2)＜0 f′(4)＞0

即

4a+2b-1＜0，(1) 16a+4b-3＞0，(2)

f'（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3，由（1）（2）所表示的平面区域可求得4a-2b＞0，

故f'（-2）=4a-2b+3＞3．

所以f'（-2）的取值范围是（3，+∞）．

（Ⅱ）方程ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系得

x1+x2=- b-1 a x1x2= 1 a

由于x₁x₂≠0，两式相除得-（b-1）=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

，即b=-

1

x1

-

1

x2

+1．

由条件x₂=x₁+2可得b=ϕ（x₁）=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，易知当x₁∈（0，2）时，φ（x）是增函数，

当x₁∈（0，2）时，ϕ（x₁）＜ϕ（2）=

1

4

，

故b的取值范围是(-∞，

1

4

)．得证．

（Ⅲ）因为f'（x）=0的两根是x₁，x₂，

故可设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），

所以g（x）=-f'（x）+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=a（x₂-x）(x-x1+

2

a

)．

由于x∈（x₁，x₂），

因此x₂-x＞0，x-x₁＞0，

又a≥2，可知x-x₁+

2

a

＞0，

故g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

]2=a(1+

1

a

)2=a+

1

a

+2，

当且仅当x₂-x=x-x₁+

2

a

即x=x₁+1-

1

a

时取等号．

所以h（a）=a+

1

a

+2，a∈[2，+∞），

当a∈（2，+∞）时，h'（a）=1-

1

a2

＞0，h（a）在（2，+∞）内是增函数，

又h（a）在[2，+∞）上连续，

故h（a）在[2，+∞）上是增函数．

所以h（a）_min=h（2）=

9

2

．