函数的定义域为（0，+∞）．f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）． …（2分）

①当a=0时，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数；       …（3分）

②当a＜0时，∵

lim

x→+∞

lnx=+∞，

lim

x→+∞

1

x

=0，

∴

lim

x→+∞

(alnx+

1

x

)=-∞，

又∵e^ax＞0，∴当x→+∞时，f′（x）＜0，

与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾；…（5分）

③当a＞0时，设g（x）=alnx+

1

x

则g′（x）=

a

x

-

1

x2

=

a

x2

(x-

1

a

)．

若0＜x＜

1

a

时，g′（x）＜0，x＞

1

a

时，g′（x）＞0

∴g（x）在x=

1

a

时取得最小值即g（x）的最小值为g（

1

a

）=-alna+a=a（1-lna）．       …（8分）

（i）当0＜a＜e，则g（

1

a

）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（ii）当a=e，则g（

1

a

）=0，其余各点处g（x）＞0，从而f′（x）≥0（仅在x=

1

a

时取等号），

故f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（iii）当a＞e，则g（

1

a

）＜0，从而f′（

1

a

）＜0，与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾．…（11分）

综上所述，a的取值范围是[0，e]．       …（12分）