问题
解答题
已知函数f(x)=lnx-
（1）试用含a的式子表示b，并求函数f（x）的单调区间； （2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）为函数f（x）图象上不同两点，G（x0，y0）为AB的中点，记AB两点连线斜率为K，证明：f′（x0）≠K． |
答案
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=
-ax+b=0，1 x
∴b=a-1，∴f′（x）=
-ax+a-1=-1 x
，(ax+1)(x-1) x
当f′（x）＞0时，得-
＞0，(ax+1)(x-1) x
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，得-
＜0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，(ax+1)(x-1) x
；∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）因A、B在f(x)=lnx-
ax2+bx(a＞0)的图象上，1 2
∴y1=lnx1-
ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-1 2
ax22+(a-1)x2，1 2
∴K=
=y2-y2 x2-x1
-lnx2-lnx1 x2-x1
a(x2+x2)+a-1，1 2
∵x0=
，f′(x)=x2+x1 2
-ax+a-1，1 x
∴f′(x0)=
-a•2 x2+x2
+a-1，x2+x2 2
假设k=f′（x0），则得：
-lnx2-lnx1 x2-x1
a(x2+x2)+a-1=1 2
-a•2 x2+x2
+a-1，x2+x2 2
即
=lnx2-lnx1 x2-x1
，2 x1+x2
即ln
=x1 x2
，令t=2
-2x1 x2
+1x1 x2
，u(t)=lnt-x1 x2
(0＜t＜1)，2t-2 t+1
∵u′(t)=
＞0，(t-1)2 t(t+1)2
∴u（t）在（0，1）上是增函数，∴u（t）＜u（1）=0，
∴lnt-
＜0，所以假设k=f′（x0）不成立，2t-2 t+1
故f′（x0）≠k．