（I）当a=1时，g(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+cx，g'（x）=-x²+x+c，

∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，

∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．

（II）设g'（x）=f（x），则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

，此抛物线关于x=

1

2a

对称，

 由a≥

1

2

可得，0＜

1

2a

≤1．对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+

1

4

≤1，

即 c≤

3

4

．

（2）关于x的实系数方程g′（x）=0 即-a²x²+ax+c=0，即  -a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

=0，

∴g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 

f( 1 2a )  ≥  0 f(1) ≤ 0

，即

c+ 1 4  ≥  0 -a2+ a + c ≤ 0

，等价于 

c ≥  - 1 4 c  ≤ a2- a

，等价于   -

1

4

≤ c ≤a2-a．