问题 解答题
已知函数f(x)=
1
2
x2-(a+m)x+alnx,且f′(1)=0,其中a、m∈R.
(1)求m的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
答案

(1)由题设知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f′(x)=x-(a+m)+

a
x
…(2分)

由f′(1)=0得1-(a+m)+a=0,解得m=1.…(4分)

(2)由(1)得f′(x)=x-(a+1)+

a
x
=
x2-(a+1)+a
x
=
(x-a)(x-1)
x
…(6分)

当a>1时,由f′(x)>0得x>a或0<x<1,

此时f(x)的单调增区间为(a,+∞)和(0,1)…(9分)

当a=1时,f(x)的单调增区间为(0,+∞).…(11分)

当0<a<1时,由f′(x)>0得x>1或0<x<a,

此时f(x)的单调增区间为(1,+∞)和(0,a).…(14分)

当a≤0时,由f′(x)>0得x>1,此时f(x)的单调增区间为(1,+∞).

综上,当a>1时,f(x)的单调增区间为(a,+∞)和(0,1);当a=1时,f(x)的单调增区间为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的单调增区间为(1,+∞)和(0,a);当a≤0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞).…(16分)

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