（I）当cosθ=0时f(x)=4x3+

1

32

，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，

故无极值．

（II）f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，

得x1=0，x2=

cosθ

2

．

由0≤θ≤

π

2

及（I），只需考虑cosθ＞0的情况．

当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， cosθ 2 ）	cosθ 2	（ cosθ 2 ，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

因此，函数f（x）在x=

cosθ

2

处取得极小值f(

cosθ

2

)，且f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．

要使f(

cosθ

2

)＞0，必有-

1

4

cos3θ+

1

32

＞0，

可得0＜cosθ＜

1

2

，所以

π

3

＜θ＜

π

2

（III）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与(

cosθ

2

，+∞)内都是增函数．

由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，

则a须满足不等式组

2a-1＜a a≤0

或

2a-1＜a 2a-1≥ 1 2 cosθ

由（II），参数θ∈(

π

3

，

π

2

)时，0＜cosθ＜

1

2

．要使不等式2a-1≥

1

2

cosθ关于参数θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．

综上，解得a≤0或

5

8

≤a＜1．

所以a的取值范围是(-∞，0]∪[

5

8

，1)．