问题
解答题
已知1＜m＜n，m，n∈N*，求证：（1+m）n＞（1+n）m．
答案
证明：要证（1+m）n＞（1+n）m
只要证nln（1+m）＞mln（1+n）
即
＞ln(1+m) m
．ln(1+n) n
构造函数令f（x）=
，x∈[2，+∞），ln(1+x) x
只要证f（x）在[2，+∞]上单调递减，
只要证f′（x）＜0．
∵f′（x）=
=[ln(1+x)]′x-x′•ln(1+x) x2
．x-ln(1+x)(1+x) x2(1+x)
当x≥2时，x-lg（1+x）（1+x）＜0，
x2（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]时，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）n＞（1+n）m．