问题 解答题
已知函数f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=mx3+
1
3
f′(x)-3x在(2,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.
答案

(1)∵f′(x)=3ax2+2bx

∴由题意有

f(-1)=-a+b=2
f/(-1)=3a-2b=-3
a=1
b=3

∴f(x)=x3+3x2

(2)∵g′(x)=3mx2+2x-1,

∴依据题意:当x∈(2,+∞)时,3mx2+2x-1≤0恒成立;

即:3m≤

1-2x
x2
在x∈(2,+∞)时恒成立;令h(x)=
1-2x
x2

易求得h(x)=

1-2x
x2
在x∈(2,+∞)的最小值为-
3
4

a∈(-∞,-

1
4
]

单项选择题
多项选择题