问题
解答题
已知函数f（x）=（a+
（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性； （2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f （x2 ）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞
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答案
（1）由已知，得x＞0，f′(x)=
-a+ 1 a x
-1=-1 x2
=-x2-(a+
)x+11 a x2
．(x-a)(x-
)1 a x2
由f′（x）=0，得x1=
，x2=a．因为a＞1，所以0＜1 a
＜1，且a＞1 a
．1 a
所以在区间（0，
）上，f′（x）＜0；在区间（1 a
，1）上，f′（x）＞0．1 a
故f（x）在（0，
）上单调递减，在（1 a
，1）上单调递增．1 a
证明：（2）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．
即
-a+ 1 a x1
-1=1 x12
-a+ 1 a x2
-1，所以a+1 x22
=1 a
+1 x1
=1 x2
，a∈[3，+∞）．x1+x2 x1x2
因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以x1x2＜(
)2恒成立，x1+x2 2
所以
＞1 x1x2
，又x1+x2＞0，所以a+4 (x1+x2)2
=1 a
＞x1+x2 x1x2
，整理得x1+x2＞4 x1+x2
，4 a+ 1 a
令g（a）=
，因为a∈[3，+∞），所以a+4 a+ 1 a
单调递增，g（a）单调递减，1 a
所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=
，6 5
所以x1+x2＞
．6 5