问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求f（x）的解析式； （2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由； （3）设函数g（x）=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R的，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围． |
答案
（1）
（2分）∵f(x)=
，mx x2+n ∴f′(x)=
=m(x2+n)-mx•2x (x2+n)2 mn-mx2 (x2+n)2
又f（x）在x=1处取得极值2
（4分）∴
即f′(1)=0 f(1)=2
解得
=0m(n-1) (1+n)2
=2m 1+n
或m=4 n=1
(舍去)m=0 n=-1 ∴f(x)= 4x x2+1
（2）由（1）得f′(x)=4-4x2 (x2+1)2
假设存在满足条件的点A，且A(x0，
)，则kOA=4x0
+1x 20
（5分）4
+1x 20
，f′(
)=x0 2
=4-4(
)2x0 2 [(
)2+1]2x0 2 16(4-
)x 20 (
+4)2x 20
∴5
=4x 40
，∴x 20
=x 20
，4 5
=±x 0 2 5
（7分）5
所以存在满足条件的点A，此时点A是坐标为(
，2 5 5
)或(-8 5 9
，-2 5 5
)（8分）8 5 9
（3）f′(x)=
，令f'（x）=0，得x=-1或x=1-4(x+1)(x-1) (x2+1)2
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
又∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x）的最小值为-2（10分）∵对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1）∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a2
由a-a2≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．