已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g

问题解答题

已知a，b是实数，函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致

（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；

（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

答案

f'（x）=3x²+a，g'（x）=2x+b．

（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x²+a＞0，

进而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，所以b≥2．

故实数b的取值范围是[2，+∞）

（2）令f'（x）=0，得x=±

．

若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，

所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．

因此b≤0．

现设b≤0，当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；

当x∈（-∝，-

）时，f'（x）＞0．

因此，当x∈（-∝，-

）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥-

且b≥-

，

从而-

≤a＜0，于是-

＜b＜0，因此|a-b|≤

，且当a=-

，b=0时等号成立，

又当a=-

，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x²-

），从而当x∈（-

，0）时f'（x）g'（x）＞0．

故函数f（x）和g（x）在（-

，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为

．