设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x

问题解答题

设函数f(x)=

x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4
（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）内无极值，求a的取值范围．

答案

f′（x）=ax²+2bx+c，

由题意可得：1，4 是方程ax²+2bx+c-9=0的两根，

所以b=-

a，c=4a+9．

（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，

又f（0）=0，所以d=0，

所以f（x）=-

x³+5x²+x．

（2）依题意：f（x）在（-∞，+∞）上单调，

所以f′（x）ax²+2bx+c≥0恒成立，

则4b²-4ac≤0，即25a²-4a（4a+9）≤0，

解得0＜a≤4．

所以a的取值范围为（0，4]．