法一  f'（x）=ax²+（b-1）x+1．

因为f（x）当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值．

所以f'（x）=ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，a＞0

当且仅当

f′(2)=4a+2b-1＜0，① f′(4)=16a+4b-3＞0，②

所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-

b

2a

＞-1．

因为函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-

b

2a

）上是单调减函数，

所以函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；

（Ⅱ）因为方程ax²+（b-1）x+1=0的两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号．

又|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．③

若-2＜x₁＜0，则-2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁-x₂|＜2，与|x₁-x₂|=4矛盾，

所以0＜x₁＜2，则

f′(2)=4a+2b-1＜0 1-b＞0

所以4a+1＜2（1-b），

结合③得（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a），解得a＞

1

12

或-a＜

1

4

．结合a＞0，得a＞

1

12

．

所以2（1-b）＞4a+1＞

4

3

，得b＜

1

3

．

所以实数b的取值范围是（-∞，

1

3

）．

法二  f'（x）=ax²+（b-1）x+1．

（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，

当且仅当

f′(2)=4a+2b-1＜0，① f′(4)=16a+4b-3＞0，②

由①得，-b＞2a-

1

2

．

因为a＞0，所以-

b

2a

＞1-

1

4a

．③

由

-8a-4b+2＞0 16a+4b-3＞0

结合③，得-

b

2a

＞-1．

因为函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-

b

2a

）上是单调减函数，

所以函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1）上是单调减函数；

（Ⅱ）因为x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号．

由|x₁|＜2，得-2＜x₁＜2．

若-2＜x₁＜0，则-2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁-x₂|＜2，与|x₁-x₂|=4矛盾，

所以0＜x₁＜2，则x₂＞4．

所以

f′(2)=4a+2b-1＜0，④ f′(4)=16a+4b-3＜0，⑤

得b＜

1

2

．

又因为|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．

根据④⑤得

(b-1)2＜(1-2b)2+1-2b (b-1)2＜( 3 4 -b)2+ 3 4 -b

得

b＜ 1 3 或b＞1 b＜ 5 8

结合b＜

1

2

，得b＜

1

3

；

所以实数b的取值范围是（-∞，

1

3

）．