（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），

即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax

∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，

∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有两相等实数根，

∴△=（2a+1）²-4a×0=0

∴a=-

1

2

，f(x)=-

1

2

x2+x（4分）

（2）①g(x)=-

1

2

x3+x2-kx，g′(x)=-

3

2

x2+2x-k

∵g（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数

∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．

∴△=4-4(-

3

2

)(-k)≤0，得k≥

2

3

故k的取值范围为[

2

3

，+∞)（7分）

②∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，

∴[km，kn]⊆(-∞，

1

2

]，

∴kn≤

1

2

，又k≥

2

3

，

∴n≤

1

2k

≤

3

4

，

∴[m，n]⊆（-∞，1]，

∴f（x）在[m，n]上是单调递增函数（9分）

∴

f(m)=km f(n)=kn

即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

即

m=0，或m=2-2k n=0，或n=2-2k

（11分）

∵m＜n故当

2

3

≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]；

当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]；当k=1时，[m，n]不存在． （13分）